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2015年上海市杨浦区初三数学二模卷(word版含答案)

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杨浦区 2015 年初中毕业统一学业模拟考试
数学试卷
(时间 100 分钟,满分 150 分) 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中, 有且只有一个选项是正确的, 选择正确项的代号并填涂在答题纸 的相应位置上】 1.下列二次根式中,属于最简二次根式的是 (A) 12 ; 2.下列运算正确的是 (A) 4 ? ?2 ; (B) ?( x ? 1) ? ? x ? 1 ;
2
2

2015.4

( ▲ (C) a4 ; (D)



(B) a 2 ? b 2 ;

x . 3
( ▲ )

(C) ?3 ? 9 ; (D)? ?2 ? ?2 . ( ▲ )

3.关于 x 的一元二次方程 x ? ax ? 1 ? 0 根的情况是 (A)有两个相等的实数根; (B)没有实数根;

(C)有两个不相等的实数根; (D)根的情况无法确定. 4.下列四个函数图像中,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大的是 ( ▲
y 1 O 1 x 1 O 1 x y 1 O 1 x y y 1 O1 x



(A) ; (B) ; (C) ; (D) . 5.一名同学想用正方形和圆设计一个图案,要求整个图案关于正方形的某条对角线对称, 那么下列图案中不符合 要求的是 ( ▲ ) ...

(A) ; (B) ; 6.下列命题中,正确的是 (A)Rt△ABC 中,CD 是 AB 上中线,则 CD=

(C) ;

(D) . ( ▲ )

1 AB; 2

(B)点 P 是∠AOB 的*分线上一点,点 M、N 分别在 OA、OB 上,则 PM=PN; (C)Rt△ABC 中,若∠B=30°,则 AC=

1 AB; 2

(D)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形. 二、填空题: (本大题 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7.计算: ? 2x y ? xy ?
3 2

▲ .



8.分解因式:x2-9=



9.方程 x ? 2 ? 1的解是



. ▲ .

10.若点 M(x-1,3-x)在第二象限,则 x 的取值范围是 11. 已知反比例函数 y ?

k ?1 的图像在第二、 四象限内, 那么 k 的取值范围是 ▲ . x 12.如果一次函数 y ? kx ? b 的图像与直线 y ? 2 x *行,且过点( ?3,5 ) ,那么该一次函数
解析式为 ▲ . 13.下图是同一副扑克中的 4 张扑克牌的正面,将它们正面朝下洗匀后放在桌上,从中抽出 一张,则抽到奇数的概率是 ▲ .

14.在□ABCD 中,AC 与 B D 相交于点 O,
AB ? a, AD ? b ,那么 AO 等于





15.在半径为 5 的圆中, 30? 的圆心角所对弧的弧长为 ▲ (结果保留 ? ) . 16. 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠ACB=90°, D、 E、 F 分别是 AB、 BC、 CA 的中点, 若 CD=5cm, 则 EF= ▲ cm. 17.如图,△ABC 绕点 A 顺时针旋转 80°得到△AEF,若∠B=100°,∠F=50°,则∠α 的度数 是 ▲ .

18.如图,正方形 ABCD 中,E 是 BC 边上一点,以 E 为圆心、EC 为半径的半圆与以 A 为 圆心,AB 为半径的圆弧外切,则 S 四边形 ADCE∶S 正方形 ABCD 的值为
C F E





C B α E F

A

D

B

A
(第 17 题) (第 18 题)

(第 16 题)

三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分)

? 1? 19. (本题 10 分)计算: 3 ? 2 ? 2012 ? ? ? ? ? 3tan 30? . ? 3?
0

?1

20. (本题 10 分)解方程:

4x 2 2 ?1? ? . x ?9 x?3 x?3
2

21. (本题 10 分)如图,在单位长度为 1 的正方形网格中,一段圆弧经过网格的交点 A、B、C。 (1)请完成如下操作: ①以点 O 为原点、网格边长为单位长,建立*面直角坐标系; ②根据图形提供的信息,标出该圆弧所在圆的圆心 D,并连结 AD、CD. (2)请在(1)的基础上,完成下列填空: ①写出点的坐标:C 、D ; B A ②⊙D 的半径= ; (3)求∠ACO 的正弦值。 C O

22. (本题 10 分)小明家买了一辆小轿车,小明连续记录了某一周每天行驶的路程: 星期一 路程(千米) 6 星期二 6 星期三 8 星期四 8 星期五 10 星期六 20 星期日 12

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

请你用学过的知识解决下面的问题: (1)请你估计小明家的轿车每月(按 30 天计算)要行驶多少千米? (2)已知每行 驶 100 千米需汽油 x 升,汽油每升 y 元,试用含 x、y 的代数式表示小明家每 月的汽油费,此代数式为 ; (3)设 x=10,y=8,请你求出小明家一年(按 12 个月计算)的汽油费用大约是多少元(精 确到千元) . (注:第(1) 、 (3)小题须写出必要步骤)

23. (本题 12 分)已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,BC=DC,CF *分 ∠BCD,DF∥AB,BF 的延长线交 DC 于点 E. 求证:(1)△BFC≌△DFC; (2)AD=DE.
[来源:学。科。网]

24. (本题 12 分)已知抛物线 y ? ax 2 ? x ? c 过点 A(-6,0) ,与 y 轴交于点 B,顶点为 D, 对称轴是直线 x ? ?2 。 (1) 求此抛物线的表达式及点 D 的坐标; (5 分) (2) 联结 DO,求证:∠AOD=∠ABO; (3 分) (3) 点 P 在 y 轴上,且△ADP 与△AOB 相似,求点 P 的坐标。 (4 分)
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

y

O

x

[来源:Zxxk.Com]

25. (第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 4 分,满分 14 分) 如图,已知:正方形 ABCD 中,AB=8,点 O 为边 AB 上一动点,以点 O 为圆心,OB 为半 径的⊙O 交边 AD 于点 E(不与点 A、D 重合) ,EF⊥OE 交边 CD 于点 F。设 BO=x,AE=y。 (1) 求 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域; (2) 在点 O 运动的过程中,△EFD 的周长是否发生变化?如果发生变化,请用 x 的代数 式表示△EFD 的周长 ;如果不变化,请求出△EFD 的周长; (3) 以点 A 为圆心,OA 为半径作圆,在点 O 运动的过程中,讨论⊙O 与⊙A 的位置关 系,并写出相应的 x 的取值范围。 A D D

A O

E

F B B C (备用图) C

答案及评分标准
一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.B;2.D;3.C;4.C;5.D;6.D 二、填空题: (本大题 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7. ?2 x y ;8. ( x ? 3)( x ? 3) ;9. x ? ?1 ; 10. x ? 1 ;11. k ? 1 ;12. y ? 2 x ? 11
2

13.

1 1 5 1 5 ;14. a ? b ;15. ? ;16.5;17.50°;18. 2 2 6 2 8
?1

三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分)

? 1? 19. (本题 10 分)计算: 3 ? 2 ? 2012 ? ? ? ? ? 3tan 30? . ? 3? 3 解:原式= 2 ? 3 ? 1 ? ? ?3? ? 3 ? 3 -------------------------------------------------------8 分
0

=6-----------------------------------------------------------------------------------------2 分

20.解:方程两边同乘以 ( x ? 3)(x ? 3) 得:---------------------------------------------------1 分

4 x ? x2 ? 9 ? 2( x ? 3) ? 2( x ? 3) ---- --------------------------------------------------2 分 2 整理得: x ? 4 x ? 3 ? 0 --------------------------------------------------------------- 2 分
解得: x1 ? 1, x2 ? 3 -----------------------------------------------------------------------3 分 经检验: x2 ? 3 是原方程的增根;-----------------------------------------------------------1 分 所以,原方程的解为 x ? 1 . ------------------------------------------------------------------1 分 21. 解: (1)直角坐标系正确----------------------------------------------------------------------------1 分 点 D 的位置正确----------------------------------------------------------------------------------------------1 分 (2)C(6,2) ,D(2,0)--------------------------------------------------------------------------------2 分 ⊙D 的半径为 2 5 ------------- -------------------------------------------------------------- ------1 分 (3)解:过 C 作 CH⊥AO,过点 A 作 AM⊥CO,------------------------------------------1 分 则 AO ? CH ? OC ? AM ,即 4 ? 6 ? 2 10 ? AM ,∴ AM ? 在 Rt△AMC 中, sin ?ACO ? 22. (1)

6 10 --------------1 分 5

6 ? 6 ? 8 ? 8 ? 10 ? 20 ? 12 ? 30 ? 300 千米------------------------------2 分,2 分 7

AM 3 ? ---------------------------------------------1 分,2 分 AC 5

(2) 3 xy ----------------------------------------------------------------------------------------3 分 (3)当 x=10,y=8 时, 小明家一年的汽油费用大约是 12 ? 3xy ? 12 ? 3 ?10 ? 8 ? 2880 元-----------------2 分 ≈3 千元--------------------1 分

23. (本题 12 分) 证明: (1)∵CF *分∠BCD,∴∠DCF=∠BCF,------------------------------------------------1 分 ∵BC=DC,CF=CF,------------------------------------------------------------------------------2 分 ∴△DFC≌△BFC----------------------------------------------------------------------------------------------1 分 (2)延长 DF 交 BC 于点 G, ---------------------------------------------------------------------------1 分 ∵AD∥BC,DF∥AB,∴ABGD 为*行四边形,------------------------------------------------1 分 ∴AD=BG--------------------------------------------------------------------------------------------------------1 分 ∵△DFC≌△BFC,∴DF=BF,∠FDC=∠FBC,-----------------------------------------------------2 分 ∵∠DFE=∠BFG,∴△DEF≌△BGF,----------------------------------------------------------------1 分 ∴BG=DF--------------------------------------------------------------------------------------------------------1 分 ∴AD=DE--------------------------------------------------------------------------------------------------------1 分 24. (本题 12 分)

?36a ? 6 ? c ? 0 ? 解: (1)由题意得 ? ?1 , ----------------------------------------------------------2 分 ? ? ? 2 ? ? 2a

1 ? 1 2 ?a ? ? 解得 ? 4 ,∴抛物线的表达式为 y ? ? x ? x ? 3 ,--------------------------------2 分 4 ? ?c ? 3
顶点 D 坐标为(-2,4)-----------------------------------------------------------------------------------1 分 (2)过 D 作 DH⊥x 轴,∵D(-2,4) ,∴在 Rt△DHO 中 tan∠AOD= 又∵B(0,3) ,A(-6,0) ,∴在 Rt△ABO 中 tan∠ABO=

1 ----------------1 分 2

1 ,------------------------------1 分 2

∴∠AOD=∠ABO-------------------------------------------------------------------------------------------1 分 (3)∵△ADP 与△AOB 相似,而△AOB 为直角三角形,∴△ADP 也为直角三角形, ∴情况 1:若 ?DAP ? 90? ,∵D(-2,4) ,A( -6,0) ,∴∠DAO= 45 ? ,∴∠OAP= 45 ? , ∴P(0,-6) 但此时 AD= 4 2 ,AP= 6 2 ,∴

AD 2 OB 1 ? ,又 ? , AP 3 OA 2

∴△ADP 与△AOB 不相似,∴此时点 P 不存在。-----------------------------------------------1 分 情况 2:若 ?ADP ? 90? ,∵D(-2,4) ,A (-6,0) ,∴∠ADH= 45 ? ,∴∠HDP= 45 ? , ∴P(0,2) 此时,

DP 2 2 1 OB 1 ? ,且∠ADP=∠AOB,∴△ADP 与△AOB 相似, ? ? , AD 4 2 2 OA 2

即当 P(0,2)时,使得△ADP 与△AOB 相似。------------------------------------------------2 分 情况 3:若 ?APD ? 90? ,设 P(0,t) ,

则 AP ? PD ? AD ,即 36 ? t 2 ? 4 ? (t ? 4)2 ? 32 ,得 t 2 ? 4t ? 12 ? 0 ,
2 2 2

∵ ? ? 0 ,∴无解,∴点 P 不存在。-----------------------------------------------------------------1 分

答案及评分标准
一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.B;2.D;3.C;4.C;5.D;6.D 二、填空题: (本大题 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7. ?2 x y ;8. ( x ? 3)( x ? 3) ;9. x ? ?1 ; 10. x ? 1 ;11. k ? 1 ;12. y ? 2 x ? 11
2

13.

1 1 5 1 5 ;14. a ? b ;15. ? ;16.5;17.50°;18. 2 2 6 2 8
?1

三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分)

? 1? 19. (本题 10 分)计算: 3 ? 2 ? 2012 ? ? ? ? ? 3tan 30? . ? 3? 3 解:原式= 2 ? 3 ? 1 ? ? ?3? ? 3 ? 3 -------------------------------------------------------8 分
0

=6-----------------------------------------------------------------------------------------2 分

20.解:方程两边同乘以 ( x ? 3)(x ? 3) 得:---------------------------------------------------1 分

4 x ? x2 ? 9 ? 2( x ? 3) ? 2( x ? 3) ---- --------------------------------------------------2 分 2 整理得: x ? 4 x ? 3 ? 0 --------------------------------------------------------------- 2 分
解得: x1 ? 1, x2 ? 3 -----------------------------------------------------------------------3 分 经检验: x2 ? 3 是原方程的增根;-----------------------------------------------------------1 分 所以,原方程的解为 x ? 1 . ------------------------------------------------------------------1 分 21. 解: (1)直角坐标系正确----------------------------------------------------------------------------1 分 点 D 的位置正确----------------------------------------------------------------------------------------------1 分 (2)C(6,2) ,D(2,0)--------------------------------------------------------------------------------2 分 ⊙D 的半径为 2 5 ------------- -------------------------------------------------------------- ------1 分 (3)解:过 C 作 CH⊥AO,过点 A 作 AM⊥CO,------------------------------------------1 分 则 AO ? CH ? OC ? AM ,即 4 ? 6 ? 2 10 ? AM ,∴ AM ? 在 Rt△AMC 中, sin ?ACO ? 22. (1)

6 10 --------------1 分 5

6 ? 6 ? 8 ? 8 ? 10 ? 20 ? 12 ? 30 ? 300 千米------------------------------2 分,2 分 7

AM 3 ? ---------------------------------------------1 分,2 分 AC 5

(2) 3 xy ----------------------------------------------------------------------------------------3 分 (3)当 x=10,y=8 时, 小明家一年的汽油费用大约是 12 ? 3xy ? 12 ? 3 ?10 ? 8 ? 2880 元-----------------2 分 ≈3 千元--------------------1 分

23. (本题 12 分) 证明: (1)∵CF *分∠BCD,∴∠DCF=∠BCF,------------------------------------------------1 分 ∵BC=DC,CF=CF,------------------------------------------------------------------------------2 分 ∴△DFC≌△BFC----------------------------------------------------------------------------------------------1 分 (2)延长 DF 交 BC 于点 G, ---------------------------------------------------------------------------1 分 ∵AD∥BC,DF∥AB,∴ABGD 为*行四边形,------------------------------------------------1 分 ∴AD=BG--------------------------------------------------------------------------------------------------------1 分 ∵△DFC≌△BFC,∴DF=BF,∠FDC=∠FBC,-----------------------------------------------------2 分 ∵∠DFE=∠BFG,∴△DEF≌△BGF,----------------------------------------------------------------1 分 ∴BG=DF--------------------------------------------------------------------------------------------------------1 分 ∴AD=DE--------------------------------------------------------------------------------------------------------1 分 24. (本题 12 分)

?36a ? 6 ? c ? 0 ? 解: (1)由题意得 ? ?1 , ----------------------------------------------------------2 分 ? ? ?2 ? ? 2a

1 ? 1 2 ?a ? ? 解得 ? 4 ,∴抛物线的表达式为 y ? ? x ? x ? 3 ,--------------------------------2 分 4 ? ?c ? 3
顶点 D 坐标为(-2,4)-----------------------------------------------------------------------------------1 分 (2)过 D 作 DH⊥x 轴,∵D(-2,4) ,∴在 Rt△DHO 中 tan∠AOD= 又∵B(0,3) ,A(-6,0) ,∴在 Rt△ABO 中 tan∠ABO=

1 ----------------1 分 2

1 ,------------------------------1 分 2

∴∠AOD=∠ABO-------------------------------------------------------------------------------------------1 分 (3)∵△ADP 与△AOB 相似,而△AOB 为直角三角形,∴△ADP 也为直角三角形, ∴情况 1:若 ?DAP ? 90? ,∵D(-2,4) ,A( -6,0) ,∴∠DAO= 45 ? ,∴∠OAP= 45 ? , ∴P(0,-6) 但此时 AD= 4 2 ,AP= 6 2 ,∴

AD 2 OB 1 ? ,又 ? , AP 3 OA 2

∴△ADP 与△AOB 不相似,∴此时点 P 不存在。-----------------------------------------------1 分 情况 2:若 ?ADP ? 90? ,∵D(-2,4) ,A (-6,0) ,∴∠ADH= 45 ? ,∴∠HDP= 45 ? , ∴P(0,2) 此时,

DP 2 2 1 OB 1 ? ,且∠ADP=∠AOB,∴△ADP 与△AOB 相似, ? ? , AD 4 2 2 OA 2

即当 P(0,2)时,使得△ADP 与△AOB 相似。------------------------------------------------2 分 情况 3:若 ?APD ? 90? ,设 P(0,t) , 则 AP ? PD ? AD ,即 36 ? t 2 ? 4 ? (t ? 4)2 ? 32 ,得 t 2 ? 4t ? 12 ? 0 ,
2 2 2

∵ ? ? 0 ,∴无解,∴点 P 不存在。-----------------------------------------------------------------1 分 综上所述,点 P 的坐标是(0,2) 。 D
y

B

A

H

O

x

25. ( 第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 4 分,满分 14 分) 解: (1)∵以点 O 为圆心,OB 为半径的⊙O 交边 AD 于点 E,∴OB=OE-----------------------1 分
2 2 2 ∵正方形 ABCD,∴∠A= 90 ? ,∴ AO ? AE ? OE ,即 (8 ? x)2 ? y 2 ? x2 ---------------1 分

∵ y ? 0 ,∴ y ? 4 x ? 4 ( 4 ? x ? 8 )---------------------------------------------------------2 分,1 分 (2)不变-------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 分 ∵EF⊥OE,∴∠AEO+∠DEF= 90 ? , ∵正方形 ABCD,∴∠D=∠A= 90 ? ,∴∠AEO+∠AOE= 90 ? , ∴∠ DEF= ∠ AOE ,∴△ AOE ∽△ DEF , ---------------------- --------------------------------------------------1 分 ∴

C?AOE AO 8? y 8? x ,即 ,---------------------------------------------------------------------1 分 ? ? C?DEF ED C?DEF 8 ? y

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∴ C?DEF ?

64 ? y 2 64 ? 16 x ? 64 16(8 ? x) ? ? ? 16 ------------------------------------------------2 分 8? x 8? x 8? x

(3)⊙O 的半径 R1=x,⊙A 的半径 R2=8-x,圆心距 d=8-x ∵ 4 ? x ? 8 ,∴R1 >R2 ∵点 A 始终在⊙O 内,所以外离和外切都不可能;

? x ? x ? ? 8 x 当⊙O 与⊙A 相交时,R1 ? R2 ? d ? R1 ? R2 , 即 x ? 8? x? 8
∵4 ? x ? 8, ∴4 ? x ?

, 得0 ? x ?

16 3

16 ----------------------------------------------------------------------------------- -2 分 3 16 当⊙O 与⊙A 内切时, d ? R1 ? R2 ,即 8 ? x ? x ? 8 ? x ,∴ x ? ----------------------------1 分 3

当⊙O 与⊙A 内含时, 0 ? d ? R1 ? R2 ,即 0 ? 8 ? x ? x ? 8 ? x ,得 综上所述,点 P 的坐标是(0,2) 。 D

16 ? x ? 8 -----------1 分 3
y

B

A

H

O

x

25. ( 第(1)小题 5 分,第(2)小题 5 分,第(3)小题 4 分,满分 14 分) 解: (1)∵以点 O 为圆心,OB 为半径的⊙O 交边 AD 于点 E,∴OB=OE-----------------------1 分
2 2 2 ∵正方形 ABCD,∴∠A= 90 ? ,∴ AO ? AE ? OE ,即 (8 ? x)2 ? y 2 ? x2 ---------------1 分

∵ y ? 0 ,∴ y ? 4 x ? 4 ( 4 ? x ? 8 )---------------------------------------------------------2 分,1 分 (2)不变-------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 分 ∵EF⊥OE,∴∠AEO+∠DEF= 90 ? , ∵正方形 ABCD,∴∠D=∠A= 90 ? ,∴∠AEO+∠AOE= 90 ? , ∴∠ DEF= ∠ AOE ,∴△ AOE ∽△ DEF , ---------------------- --------------------------------------------------1 分 ∴

C?AOE AO 8? y 8? x ,即 ,---------------------------------------------------------------------1 分 ? ? C?DEF ED C?DEF 8 ? y

[来源:Z|xx|k.Com]

∴ C?DEF

64 ? y 2 64 ? 16 x ? 64 16(8 ? x) ? ? ? ? 16 ------------------------------------------------2 分 8? x 8? x 8? x

(3)⊙O 的半径 R1=x,⊙A 的半径 R2=8-x,圆心距 d=8-x ∵ 4 ? x ? 8 ,∴R1 >R2 ∵点 A 始终在⊙O 内,所以外离和外切都不可能;

? x ? x ? ? 8 x 当⊙O 与⊙A 相交时,R1 ? R2 ? d ? R1 ? R2 , 即 x ? 8? x? 8
∵4 ? x ? 8, ∴4 ? x ?

, 得0 ? x ?

16 3

16 ----------------------------------------------------------------------------------- -2 分 3 16 当⊙O 与⊙A 内切时, d ? R1 ? R2 ,即 8 ? x ? x ? 8 ? x ,∴ x ? ----------------------------1 分 3 16 ? x ? 8 -----------1 分 当⊙O 与⊙A 内含时, 0 ? d ? R1 ? R2 ,即 0 ? 8 ? x ? x ? 8 ? x ,得 3



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