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2015-2016学年人教B版高中数学课件 选修2-2:第一章 导数及其应用 1.3《导数的几何意义》_图文


第1章

导数及应用

1.1.3 导数的几何意义

导数的几 何意义

内容:切线的新定义、导数的几何意义及 利用导数的几何意义求曲线上某点处的切 线方程 根据导数的定义求导数值 应用 求曲线在某点处的切线方程

本课主要学习理解导数的几何意义以及对曲线切线 方程的求解.通过多媒体课件的直观演示,引导学生通 过观察,思考,发现并归纳导数的几何意义.通过对 例题和练习题的探究完成知识的迁移.并通过设置思 考题为学生进一步探讨导数的应用指出方向.重点是 理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及利用导 数的几何意义求曲线上某点处的切线方程,体会数形 结合、以直代曲的思想.难点是发现、理解及应用导 数的几何意义;对导数几何意义的理解与掌握,在每 处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解; 运用导数的几何意义解释函数变化的情况. 针对上述内容给出3个例题,通过解决具体问题强 调正确应用导数的几何意义的重要性。通过设置难易 不同的必做和选做作业题,对不同的学生进行因材施 教。

1.平均变化率
一般地,函数 f ( x) 在区间上 [ x1 , x2 ] 的平均变化率为

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1

y=f(x) y f(x2) B f(x2)-f(x1)=△y f(x1) O A x2-x1=△x x x1 x2

割线的斜率

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) k? ? ?x x2 ? x1

2.导数的概念

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
3.求函数 y ? f ( x) 在
(1)求平均变化率 (2)取极限

x ? x0 处的导数的步骤

导数的几何意义

提出问题

动画演示02:50-03:40
y
y ? f ?x ?
P1

http://www.jtyhjy.com/edu/ppt/ ppt_playVideo.action?mediaVo. resId=54800cd9956ed1ed6016a y 1c2 y ? f ?x ?
P2

T P
O
x

T

O

x

?1?
y
y ? f ?x ?

?2 ?
y
y ? f ?x ?

P3

T
P4 P

T

P

O

x

O

x

?3 ?

?4 ?

图 3.1 ? 2

y

y ? f ( x)

相交

o

P

x

曲线在点P处切线的定义
y
y=f(x)

Pn

割 线 T
切线

P

o

x 当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PPn趋近于 确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.

割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢?
y=f(x) y Q(x1,y1)
k PQ ?

思 考

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = ?x ?x

即:当△x→0 时,割线 PQ 的斜
△y

P(x0,y0)
△x

率的极限,就是曲线在点P处的 切线的斜率, x

M

o

导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲

线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率,即曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ?( x0 ) .

故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:

导函数的定义
问题: 从求函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导数的过程来看, 当 x ? x0 时, f ? ( x0 ) 是不是一个确定的数?
当 x ? x0 时, f ? ( x0 ) 是一个确定的数.

因此, 当 x 变化时,f ?( x) 便是 x 的一个函数, 我们称它为 f ( x) 的导函数(简称导数) .

记作: f ?( x) 或 y? ,即: f ?( x) ? y? ? ?lim x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) . ?x

注:函数 f ( x) 在 x0 处的导数 f ? ( x0 ) 就是函数 f ( x) 的导(函) 数 f ?( x) 在 x0 处的函数值.

h

l0 l1

O

t0

t1

t2

t

l2

图3.1 ? 3
解:我们用曲线h ? t ? 在t 0 , t1 , t 2 处的切线, 刻画曲 线h ? t ? 在上述三个时刻附近的变化情况.

h

?1?当t ? t0时,曲线h?t ?在
t0处的切线 l0平行于x 轴. 所以, 在t ? t0附近曲线比 较平坦, 几乎没有升降.

l0
l1

?2?当t ? t1时,曲线h?t ?在t1 图3.1 ? 3 处的切线l1的斜率h`?t1 ? ? 0.所以, 在t ? t1附近曲线下 降, 即函数h?t ?在t ? t1附近单调递减. ?3?当t ? t2时,曲线h?t ?在t2处的切线l2的斜率h`?t2 ? ? 0. 所以, 在t ? t2附近曲线下降 ,即函数h?t ?在t ? t2附近也
单调递减 .

O

t0

t1

t2

t

l2

从图3.1 ? 3可见, 直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜

程度, 这说明曲线h?t ?在t1附近比在t 2附近下降得缓慢.

根据导数的几何意义: 当某点处导数大于零时,说明在这点的附近曲线 是上升的,即函数在这点附近是单调递增; 当某点处导数小于零时,说明在这点的附近曲线 是下降的,即函数在这点附近是单调递减.

【例 2】设 f ( x) ? x2 ,求 f ?( x ) , f ?(?1) , f ?(2) 的值.

分析:先根据导数的定义求 f ?( x) ,再将自变量的值代入求 得导数值.
解:由导数的定义知:

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x ?0 ?x ( x ? ?x) 2 ? x 2 ? lim ?x ?0 ?x ? lim (2 x ? ?x) f ?( x) ? lim
?x ?0

? 2x ? f ?(?1) ? f ?( x) |x??1 ? 2 ? (?1) ? ?2 , f ?(2) ? f ?( x) |x?2 ? 2 ? 2 ? 4 .

变式训练 1

x ,求 y? . 2 (2)求函数 y ? 3x 在点 (1,3) 处的导数.
(1)已知 y ?

答案: (1)

1 2 x

; (2)6.

【例 3】求曲线 y ? x2 在点 A(2, 4) 处的切线方程.
分析:本题关键是求切线斜率, k ? f ?(2) ,有两种思路: f (2 ? ?x) ? f (2) ? 一是直接求 k ? f (2) ? lim ; ?x ?0 ?x f ( x ? ?x) ? f ( x) 二是先求 f ?( x) ? lim ,再令 x ? 2 求得 k ? f ?(2) . ?x ?0 ?x

?y ( x ? ?x)2 ? x 2 lim ? lim ? 2x . 解: y? ? ? x ?0 ?x ?x ?0 ?x 所以,斜率为 k ? f ?(2) ? y? |x?2 ? 2 ? 2 ? 4 .

故点 A(2, 4) 处切线方程为: y ? 4 ? 4( x ? 2) ,即 4 x ? y ? 4 ? 0 .

变式训练 2 求过点 P(3,5) 且与曲线 y ? x2 相切的直线方程.
?y ( x ? ?x)2 ? x 2 lim ? lim ? 2x . [错解] y? ? ? x ?0 ?x ?x ?0 ?x 所以,斜率为 k ? f ?(3) ? y? |x?3 ? 2 ? 3 ? 6 .

故过点 P(3,5) 切线方程为: y ? 5 ? 6( x ? 3) 即 6 x ? y ? 13 ? 0 .
[错因]求曲线在点 P 处的切线与求过点 P 的切线有区别. 在点 P 处的切线,点 P 必为切点;求过点 P 的切线,点 P 未必是切点.应注意概念的区别,其求法也有所不同.

?y ( x ? ?x)2 ? x 2 ? lim ? 2x . [正解] 法一: y? ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 设所求切线的切点为 A( x0 , y0 ) .

? 点 A 在曲线 y ? x2 上,? y0 ? x02 . 又? A 是切点,? 过点 A 的切线的斜率 y? |x? x0 ? 2x0 . ? 所求切线方程为 y ? x02 ? 2x0 ( x ? x0 ) , 将点 P(3,5) 代入切线方程得 x0 ? 1或5 . ? 切点坐标为 (1,1) 或 (5, 25) , 当切点为 (1,1) 时,切线的斜率为 k1 ? 2 x0 ? 2 ; 当切点为 (5, 25) 时,切线的斜率为 k2 ? 2x0 ? 10 . ∴所求的切线有两条,方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) 或 y ? 25 ? 10( x ? 5) , 即 2 x ? y ? 1 ? 0 或 10 x ? y ? 25 ? 0 .

?y ( x ? ?x)2 ? x 2 lim ? lim ? 2x . 法二: y? ? ? x ?0 ?x ?x ?0 ?x 设所求切线的切点为 A( x0 , y0 ) .

? 点 A 在曲线 y ? x2 上,? y0 ? x02 .

又? A 是切点,? 过点 A 的切线的斜率 y? |x? x ? 2x0 . ? 所求的切线过 P(3,5) 和 A( x0 , y0 ) 两点,
0

y0 ? 5 x0 2 ? 5 , ? ? 其斜率又为 x0 ? 3 x0 ? 3 x02 ? 5 ,解得 ? 2 x0 ? x0 ? 3
x0 ? 1 或 x0 ? 5 .

从而切点 A 的坐标为 (1,1) 或 (5, 25) .余下的同上.

法三:由于点 P(3,5) 在曲线 y ? x2 的下方, 所以过点 P(3,5) 的切线方程有两条. 设所求切线方程为 y ? 5 ? k ( x ? 3) , 即 y ? kx ? 5 ? 3k .
? y ? kx ? 5 ? 3k , 2 x ? kx ? 3k ? 5 ? 0 . 联立 ? 得 2 y?x , ? 10 . ? ? ? k 2 ? 4(3k ? 5) ? k 2 ?12k ? 20 ? 0 ,即 k ? 2或

? 所求切线方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 或 10 x ? y ? 25 ? 0 .

1.知识: (1)切线的定义:当点 Pn ( x0 ? ?x , f ( x0 ? ?x)) 沿着曲线 f ( x) 逼近点 P( x0 , f ( x0 )) 时,即 ?x ? 0 ,割线 PPn 趋近于确定的位置,这个确 定位置上的直线 PT 称为点 P 处的切线. (2)函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导数 f ?( x0 ) 的几何意义就是函数 f ( x) 的图象在 x ? x0 处的切线的斜率. (3)求曲线在某点处的切线方程的方法,正确区别“在某点的 切线方程”与“过某点的切线方程” . ( 4 )求函数 y ? f ( x) 的导函数的方法,正确区别“ f ?( x0 ) ”与 “ f ?( x) ” .

2.思想:体会“数形结合”的思想方法、逼近的思想方法、 “以直代曲”的思想方法.

必做题 1.求曲线 y ? 2x2 ? 1 在点 P (?1,3) 处的切线方程. 2.已知抛物线 y ? 2 x2 ? 1 ,求 (1)抛物线上哪一点的切线平行于直线 4 x ? y ? 2 ? 0 ; (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线 x ? 8 y ? 3 ? 0 . 3.若函数 y ? x2 ? 2ax 与 y ? 2 x ? 4 相切,求 a 的值.

选做题 1.已知曲线 y ? 2x2 ? 7 ,求曲线过点 P(3, 9) 的切线方程. 2.设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 9x ?1(a ? 0) ,若曲线 y ? f ( x) 的 斜率最小的切线与直线 12 x ? y ? 6 ? 0 平行,求 a 的值.

谢 谢 欣 赏!



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