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不定积分练习


【典型例题】 【例 4-1】计算下列不定积分. ?1. xex2 dx. 解 : ? ? xex2 dx ? 1 ex2 d (x2 ) ? 1 ex2 ? C . 2 2 x ?2. dx. 1? x2 ? ? 解: x dx ? 1 1 d (1? x2 ) 1? x2 2 1? x2 ? 1 ln(1? x2 ) ? C. 2 1? x ? x2 ?3. x(1 ? x2 ) dx. 解 : ? ? 1? x ? x2 x(1? x2 ) dx ? x(1 x ? x 2 ) dx ? 1? x2 1 1 ? x(1 ? x2 dx? ) ? 1 ? x2 dx ?? dx x ? arctan x ? ln x ? C. ln x ?4. dx. x 解 : ? ln xdx x ? ? ln xd (ln x) ? 1 2 ln 2 x ? C . 1 ?5. dx. x ln x 解 : ? 1 x ln dx x ? ? 1 d (ln ln x x) ? ln ln x ? C . ?6. sec x(sec x ? tan x)dx. ?解: sec x(sec x ? tan x)dx ? ?sec2 xdx ? ?sec x tan xdx ? tan x ? sec x ? C. ?7. sin2 xdx. ? ? 解: sin2xdx ? 1? cos 2xdx 2 ? 1 2 ? dx ? 1 2 ? cos 2xdx 11 ? x ? sin 2x ? C. 24 ?8. cos2 xdx. ? ? 解: cos2xdx ? 1? cos 2xdx 2 ? 1 2 ? dx ? 1 2 ? cos 2xdx 11 ? x ? sin 2x ? C. 24 ?9. tan2 xdx. ? ? 解: tan2 xdx ? (sec2 x ?1)dx ? ? ? sec2 xdx ? dx ? tan x ? x ? C. ?10. cot2 xdx. 解 : ? cot2 xdx ? ? (csc2 x ?1)dx ? ? csc2 x . 1 ?11. 1 ? ex dx. 解 : ? ? ? 1 dx ? 1? ex ? ex dx ? (1? e 1? ex 1? ex 1? ? ? dx ? ? 1 1 ?e x d (1 ? e x ) ? x ? ln(1 . 1 ?12. dx. x2 ? 8x ? 25 解 : ? x2 ? 1 8x ? dx 25 ? ? (x ? 1 4)2 ? dx 9 ? ? 1 3 ? ( x ? 1 4)2 ? d 1 ( x ? 3 4 ) ? 1 3 arctan 3 . ?13. sin2 x cos5 xdx. 解 : 原 式 ? ? ? sin2 x cos4 xd (sin x) ? sin2 x(1? ?? (sin2 x ? 2sin4 x ? sin6 x)d (sin x) ? 1 sin3 x ? 2 sin5 x ? 1 sin7 x ? C 3 5 7 . ?14. cos3x cos 2xdx. 解 : ? cos 3x cos 2xdx ? 1 2 ? (cos x ? cos 5 x . 【例 4-2】计算下列不定积分. ?1. x cos xdx. 解 : ? xcos xdx ? ? xd (sin x) ? xsin x ? ?s . ?2. xexdx. 解 : ? ? ? xexdx ? xd (ex ) ? xex ? exdx ? xe . ?3. x ln xdx. 解 : xnx ? xd?x 2 ln x 2 ?(x?d ) 2 x ln 2 ?x ?(l x2 x x2 x2 ? 2 ln x ? ? dx 2 ? 2 ln x ? 4 ?C . ln x ? t x ? e 说 明 : 此 题 也 可 用 变 量 代 换 解 , 即 令 t ,则 , dx ? etdt ,故 原 式 ? ? ? ? et ? t ? etdt ? te2tdt ? td (1 e2t ) ? 2 ? 1 te2t ? 1 e2t ? C ? 1 ln x ? x2 ? 1 24 2 4 . ?4. x arctan xdx. 解: ? x arctan xdx ? ? arctan xd ( x2 2 ) ? ? x2 arctan x ? x2 d (arctan x) 2 2 ? ? x2 arctan x ? x2 ? 1 dx 2 2 1? x2 x2 1 1 ? 2 arctan x ? 2 ? (1? 1? x2 )dx x2 11 ? arctan x ? x ? arctan x ? C 2 22 . ?5. ln xdx. ? ? 解: ln xdx ? x ln x ? xd (ln x) ? x ln x ? ? x ? 1dx x ? x ln x ? x ? C . ?6. arctan xdx. ? x arctan x ? ? xd (arctan x) ? x arctan x ? ? 1 x ?x 2 dx ? ? x a


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