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2019年苏科版九年级数学下册64探索三角形相似的条件2共37张PPT语文_图文


回顾与反思?

相似三角形

各角对应相等,各边对应成比例的两个三角形,叫做

相似三角形.

相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例. 如果△ABC∽△DEF,那么∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.

AB? AC? BC

D

DE DF EF A

B

CF

E

注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上. 反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点!

1.如图所示,△PQR是等边三角形,且 △PAQ∽△BPR.

(1)试说明:QR2=AQ·BR; P

(2)求∠APR的度数.

A

Q

RB

证明等积式转化为比例式, 然后找相似三角形

找相似三角形的方法: 三点定形法,等量代换法.

平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相 等,那么在其他直线上截得的线段也相等.

∵ l1∥l2∥l3, A1A2=A2A3
∴ B1B2=B2B3

l l’

A1 A2 A3

B1

C2

B2 B3

C3

l1 l2
l3

图2

两相邻平行线 间的距离相等

2019/7/18

平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
几 何 语 言
2019/7/18

推论1:
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边 的延长线)所得的对应线段成比例.

l l?

A

l1

D

E l2

B

C
l3

2019/7/18

l

l?

E

D l1

A

l2

B

C l3

推论2:预备定理

平行于三角形一边的直线与其他两边(或 两边的延长线),所截得的三角形与原三角 形相似.

l l?

A

l1

D

E

符号语言:
l2

∵DE∥BC

l

l?

E

D l1

A

l2

B
A型
2019/7/18

C l3 ∴△ADE∽△ABC. B

Cl3

X型

找一找 在复杂的几何图形中发现A型图和X型图
如图,E是□ABCD的边BC的延长线上的一点,连接
AE交CD于点F,找出图中所有的相似三角形.

A

D

F

B

CE

如图,AC∥DB,AB、CD相交于点O. 过点O的直 线交AC于点E,交DB于点F.写出图中所有的相似 三角形及其对应边所组成的比例式,并说明理由.
D FB
O

A

E

C

如图,在平行四边形ABCD中,E是BC的中点,AE 交BD于点F,求AF:EF.

如图,平行四边形ABCD中,EF∥AD,DE:EB=2:3, EF=6,那么BC的长为______.

探索三角形相似的条件(1)

A

B A′ B′ A′′

B′′

如图,小明用一张纸遮住了3个三角形的 一部分,你能画出这3个三角形吗?

结论 两角分别对应相等的两个三角形相似.

已知:如图,已知△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A', ∠B=∠B',求证: △ABC∽△A'B'C’.

证明:在△ABC的边AB(或延长线)上,截取AD=A'B',

过点D作DE//BC,交AC于点E,则△ADE∽△ABC,

∠ADE=∠B.

A

A'

∵∠B=∠B’,

∴∠ADE=∠B’.
D
又∵∠A=∠A’,AD=A’B’,
B

E

B'

C'

C

∴△ADE≌△A'B'C’.

∴△A'B'C'∽△ABC.

6.4 探索三角形相似的条件(2)
探索三角形相似的条件

两角分别相等的两个三角形相似.

A

符号语言:

在△ABC和△ A'B'C'中

B

C ∵ ∠A =∠A',∠B=∠B'.

A'

∴△ABC∽△A'B'C'.

B'

C'

交流讨论

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 两个角对应相等,那么这两个三角形相似.

∵ ∠ B= ∠ E,

D

∠ C= ∠ F

A

∴ △ ABC∽ △DEF

B

CE

F

例题欣赏 例1、如图,在△ABC和△A′B′C′中, 已知 ∠A=50°,∠B=∠B′=60°,∠C′=70°, △ABC与△A′B′C′相似吗?为什么?
A′ A

B

C B′

C′

巩固练习 判断下列说法是否正确 1.有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似. 2.有一个角对应相等的两个等腰三角形相似. 3.顶角相等的两个等腰三角形相似. 4.有一个角为110度的两个等腰三角形相似. 5.有一个角为50度的两个等腰三角形相似.
6.有一个底角对应相等的两个等腰三角形相似.

例题欣赏 试说明:点D是线段AC的黄金分割点. 例1.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°, CD是 ∠ACB的平分线,△ABC与△CBD相似吗?为什么?
A

D

练习:伴你学 P36 第3题

B

C

6.4 探索三角形相似的条件(2)
议一议:
例2 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是 △ABC的高.找出图中所有的相似三角形.

概述图中,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边 AB上的高,则有如下三个等式:
CD?=AD·BD AC?=AD·AB BC?=BD·AB
射影定理,又称“欧几里德定理”:在直角三角 形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比 例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上 的射影和斜边的比例中项。射影定理是数学图形 计算的重要定理。

如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,且 ∠1=∠2=∠3.图中有哪几对相似三角形?请用符 号把它们表示出来,并说明理由.
△ ADE∽ △ABC

△ ADE∽ △ACD

A

△ ABC∽ △ACD

△ CED∽ △BDC D 1

E

B2

3
C

如图,小明在打网球时,使球恰好能打过网

,而且落在离网4米的位置上,则球拍击球的

高度h为



6.4 探索三角形相似的条件(2)

练一练:

2.如图,在△ABC中,BD⊥AC,AE⊥BC, 图中一定和△BDC相似的三角形有几个?它们

分别是哪些三角形?

B

E O

A

D

C

6.4 探索三角形相似的条件(2)
练一练:
3.过△ABC (∠C>∠B)的边AB上一点D作一条直 线与另一边AC相交,截得的小三角形与△ABC相
似,这样的直线有几条?请把它们一一作出来.

请你找出来,并选择一个说明理由.
△ ADE∽ △ABC △ ADE∽ △ACD △ ABC∽ △ACD
△ CED∽ △BDC

如图,点A、B、C、D在圆上,你能找到相 似三角形吗?

变式

练习
已知:△ABC与△AEF中,

∠1=∠2 ,∠F=∠C.

A

求证: AE ? AB .

12

AF AC



变式:

B

C

如果AC=2AF,BC=4,EF的长是多少?

点拨:在此处要证线段对应成比例,可以通过证明 两三角形相似,今后通过证明两三角形相似是证明 角相等、线段成比例的常用方法.

如图,将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成 如图的样子,图形中的所有点、线都在同一平面 内,图中有相似(不包括全等)三角形吗?如果有, 把它们一一写出来.并且任选一对加以证明.

已知:在四边形ABCD中, AD//BC,∠C=90°, AB=AD=25,BC=32,连接BD,AE⊥BD,垂足为F
(1)△ABE∽△DBC
(2)求线段AE的长

如图所示,已知在圆内接四边形ABCD中, BA和CD的延长线交于点P,AC和BD相交于点 E,则图中共有相似三角形
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对

相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的 两条线段长的积相等。 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切 线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例 中项。 割线定理:从圆外一点P引两条割线PAB,PCD与圆 分别交于A、B;C、D,则有PA·PB=PC·PD

开启 智慧

联想的功能

?猜一猜: ?相似三角形对应高的比与相似比的关系.
?相似三角形对应高的比等于相似比..理由是:A ?如图∵△ ABC∽ △DEF.∴∠B = ∠E.

?又∵∠AMB = ∠DNE =900.

?∴△ AMB∽ △DNE.

B

?(两角对应相等的两个三角形相似).

DM C

?AM? AB. DN DE
?(相似三角形对应边成比例).

E

F

N

开启 智慧

联想的功能

?猜一猜:

?相似三角形对应角平分线的比与相似比的关系.

?相似三角形对应角平分线的比等于相似比.. A ?理由是:

?如图∵△ ABC∽ △DEF.∴∠B =

∠E, ∠BAC= ∠EDF.又∵AM,DN分别是 B ∠BAC和∠EDF的角平分线.
?∴∠BAM=∠EDN.

MD C

?∴△ AMB∽ △DNE.

?(两角对应相等的两个三角形相似).

?AM? AB. DN DE

E

?(相似三角形对应边成比例).

F N



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