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2020版广西高考人教版数学(理)一轮复习单元质检七 不等式、推理与证明


2020 版广西高考人教版数学(理)一轮复习单元质检七 不等式、推理与证明

单元质检七 不等式、推理与证明

(时间:45 分钟 满分:100 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 6 分,共 72 分)

单元质检卷第 13 页

1.(2018 山东济宁期末)已知 a>0,b>0,且 成等差数列,则 a+9b 的最小值为( )

A.16

B.9

C.5

D.4

答案 A

解析∵ 成等差数列,∴ =1.

∴a+9b=(a+9b)

=10+ ≥10+2

=16,

当且仅当

,且 =1,

即 a=4,b= 时等号成立.

故选 A.

2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以上推理( )

A.结论正确

B.大前提不正确

C.小前提不正确 D.全不正确

答案 C

解析因为 f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.

3.若 x,y 满足约束条件

-

-

则 z=x+2y 的取值范围是 1/8

()

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A.[0,6] C.[6,+∞) 答案 D

B.[0,4] D.[4,+∞)

解析画出约束条件

-

-

所表示的平面区域为图中阴影部分,

由目标函数 z=x+2y 得直线 l:y=- x+ z,

当 l 经过点 B(2,1)时,z 取最小值,zmin=2+2×1=4.

又 z 无最大值,所以 z 的取值范围是[4,+∞),故选 D.

4.已知某个命题与正整数 n 有关,如果当 n=k(k∈N*)时命题成立,那么可推得当 n=k+1 时命题也成立. 现已知当 n=8 时该命题不成立,那么可推得( )

A.当 n=7 时该命题不成立

B.当 n=7 时该命题成立

C.当 n=9 时该命题不成立

D.当 n=9 时该命题成立

答案 A

解析由题意可知,原命题成立则逆否命题成立.

若命题对 n=8 不成立,则命题对 n=7 也不成立,

否则若当 n=7 时命题成立,由已知必推得 n=8 时命题也成立,

与当 n=8 时命题不成立矛盾,故选 A.

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5.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球, 将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程, 直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
答案 B
解析若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的 两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且 黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且 红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,直到袋中所有球都被放入盒中时,抽到两个红球的次 数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,故选 B.

-

6.已知 x,y 满足约束条件

-

当且仅当 x=y=4 时,z=ax-y 取得最小值,则实数 a 的取值范围是

() A.[-1,1] C.(0,1) 答案 B

B.(-∞,1) D.(-∞,1)∪(1,+∞)

-

解析作出约束条件

-

所对应的平面区域如图阴影部分所示.

目标函数 z=ax-y 可化为 y=ax-z,可知直线 y=ax-z 的斜率为 a,在 y 轴上的截距为-z. ∵z=ax-y 仅在点 A(4,4)处取得最小值, ∴斜率 a<1,即实数 a 的取值范围为(-∞,1),故选 B.

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7.不等式

>0 对满足 a>b>c 恒成立,则 λ 的取值范围是( )

- --

A.(-∞,0] 答案 C

B.(-∞,1)

C.(-∞,4)

D.(4,+∞)

解析变形得 λ<(a-c)·

=[(a-b)+(b-c)]·

--

-

当(a-b)2=(b-c)2 时等号成立),则 λ<4.故选 C.

=1+ -

-

-

- +1,而 1+ -

-

-

- +1≥4(当且仅
-

8.若平面内有 n 条直线,最多可将平面分成 f(n)个区域,则 f(n)的表达式为( )

A.n+1

B.2n

C.

D.n2+n+1

答案 C

解析 1 条直线将平面分成 1+1=2 个区域;2 条直线最多可将平面分成 1+(1+2)=4 个区域;3 条直线最 多可将平面分成 1+(1+2+3)=7 个区域……n 条直线最多可将平面分成

1+(1+2+3+…+n)=1+

个区域,故选 C.

9.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为 800 元.若每批生产 x 件,则平均仓储时间为 天, 且每件产品每天的仓储费用为 1 元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批 应生产产品( )

A.60 件

B.80 件

C.100 件

D.120 件

答案 B

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解析设每件产品的平均费用为 y 元,由题意得 y= x=80 时等号成立,故选 B.

10.(2018 山东烟台二模)已知 P(x,y)为区域 的最小值是( )

A.-5 答案 A

B.-3

C.-

≥2

=20,当且仅当

(x>0),即

内的任意一点,当该区域的面积为 4 时,z=x-2y D.0

解析画出不等式组表示的平面区域,如图所示,则 A(a,2a),B(a,-2a),

S△ABO= ×|a|×|4a|=2a2=4,解得 a=- (正值舍去),

所以 A - - ,B -

.

由目标函数的几何意义可得,

当 z=x-2y 过点 B 时取得最小值,此时 z=x-2y=- -2×2 =-5 .

故选 A.

11.若 a>b>0,且 ab=1,则下列不等式成立的是( )

A.a+

<log2(a+b)

B. <log2(a+b)<a+

C.a+ <log2(a+b)<

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D.log2(a+b)<a+ 答案 B

解析不妨令 a=2,b= ,则 a+ =4, B.

,log2(a+b)=log2 ∈(log22,log24)=(1,2),即 <log2(a+b)<a+ .故选

12.已知任意非零实数 x,y 满足 3x2+4xy≤λ(x2+y2)恒成立,则实数 λ 的最小值为( )

A.4

B.5

C.

D.

答案 A 解析依题意,得 3x2+4xy≤3x2+[x2+(2y)2]=4(x2+y2)(当且仅当 x=2y 时等号成立).

因此有

≤4,当且仅当 x=2y 时等号成立,



的最大值是 4,结合题意得 λ≥

,

故 λ≥4,即 λ 的最小值是 4.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 7 分,共 28 分)

13.观察分析下表中的数据:

多面 面数 顶点数 棱数 体 (F) (V) (E)

三棱

柱5 6

9

五棱

锥6 6

10

正方

体6 8

12

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是

.

6/8

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答案 F+V-E=2

解析三棱柱中 5+6-9=2;五棱锥中 6+6-10=2;正方体中 6+8-12=2;由此归纳可得 F+V-E=2.

14.已知 f(x)=lg(100x+1)-x,则 f(x)的最小值为

.

答案 lg 2

解析∵f(x)=lg(100x+1)-x=lg

=lg(10x+1 - )≥lg 2,当且仅当 x=0 时等号成立, ∴f(x)的最小值为 lg 2.

15.如果函数 f(x)在区间 D 上是凸函数,那么对于区间 D 内的任意 x1,x2,…,xn,都有



≤f

… .若 y=sin x 在区间(0,π)内是凸函数,则在△ABC 中,sin A+sin B+sin

C 的最大值是

.

答案

解析由题意,知凸函数 f(x)满足



≤f


.

∵y=sin x 在区间(0,π)内是凸函数, ∴sin A+sin B+sin C

≤3sin

=3sin

.

16.已知实数 x,y 满足约束条件

则 23x+2y 的最大值是

.

-

答案 32 解析设 z=3x+2y,由 z=3x+2y,

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得 y=- x+ .

作出不等式组 -

对应的平面区域如图阴影部分所示,

由图象可知当直线 y=- x+ 经过点 B 时,直线 y=- x+ 在 y 轴上的截距最大,此时 z 也最大.

由 -

解得

即 B(1,1).

故 zmax=3×1+2×1=5,则 23x+2y 的最大值是 25=32.

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